只有当解释变量与误差不相关时，OLS 才保持一致。若遗漏变量、同时性、测量误差或人们在不同选择之间的排序使二者相关，估计就会有偏，而且增加数据量也无法解决。**工具变量（IV）**通过寻找一个变量 z 恢复一致性：它能够改变有问题的解释变量 x，除此之外却与结果无关。
工具变量必须满足两个条件：
- 相关性——
Cov(z, x) ≠ 0。工具确实能够推动x。这一条件可以检验，通常查看第一阶段 F 统计量。 - 排除限制／外生性——
Cov(z, ε) = 0。工具只能通过x影响y，不能直接作用于结果，也不能经由遗漏因素产生影响。这一条件无法检验，只能通过理论或研究设计论证。
最常用的估计量是两阶段最小二乘（2SLS）：
第一阶段：用 z（及控制变量）回归 x → 得到拟合值 x̂
第二阶段：用 x̂ 回归 y直观上，模型舍弃 x 中内生的部分，只保留由工具诱导的变动；按假设，这部分变动是干净的。当工具变量数量多于内生解释变量时，模型属于过度识别，可用 Hansen／Sargan J 检验检查过度识别限制。
风险十分具体：
- 弱工具变量。 若相关性较弱（第一阶段 F 较低；经验规则常用 F > 10），有限样本偏误会急剧放大，标准误也会误导。存在疑问时应使用弱工具稳健推断。
- 排除限制无法验证。 它是一项论证，不是检验结果，而整个因果主张建立于此。一个听起来合理、却存在通向结果的后门路径的工具，可能比没有工具更糟。
- 异质性效应。 当效应在单元之间不同，IV 识别的是局部平均处理效应，即工具实际推动的“服从者”群体的效应，而不是所有人的平均效应。
当描述性回归无法支撑因果主张时，IV 是自然的升级路径：解释变量中若存在一项准随机变动来源——阈值、边界、抽签或政策切换——便可能构成工具或断点设计。它可以处理加权与固定效应无法消除的内生性，但有效范围始终受排除限制是否真正成立所约束。