基础笔记——重新校准分析的基本构件。
将前两部分——偏好排序与预算线——放在一起，就得到消费者问题：在可负担的商品组合中，选择效用最高的一组。
max_(x,y) U(x, y) 约束条件为 p_x·x + p_y·y = m其解 x*(p_x, p_y, m) 称为Marshallian（普通）需求。
切点条件。 在内部最优点，无差异曲线恰好与预算线相切，两者斜率相等：
MRS_xy = MU_x/MU_y = p_x/p_y左侧是消费者的主观权衡（偏好），右侧是市场权衡（价格）。若二者不同——例如 MRS > p_x/p_y，意味着消费者对 x 的估值高于市场要求的交换代价——增加 x 可以提高效用，这一调整会持续到二者相等。因此，原本在其他位置彼此不同的 MRS 与价格比，只在最优点重合。
等边际原则。 对切点条件交叉相乘，可得到更直观的形式：
MU_x/p_x = MU_y/p_y即每单位货币支出带来的边际效用在商品之间相等。若花在 x 上的最后一元带来的效用高于花在 y 上的一元，消费者就会重新分配支出；最优状态正是无法再通过重分配提高效用的状态。
拉格朗日方法使计算机械化。构造 ℒ = U(x,y) + λ(m − p_x·x − p_y·y)；一阶条件 U_x = λp_x、U_y = λp_y 重新得到切点条件。乘子 λ 等于 MU_x/p_x = MU_y/p_y，即收入的边际效用：预算增加一元所带来的额外效用。
切点何时失效。 上述结论假设最优解位于内部，且偏好平滑、凸。存在完全替代品，或某项商品最优数量为零时，会出现角点解：最优点位于坐标轴上，MRS ≠ p_x/p_y，此时只需比较各截距处的效用。Cobb–Douglas 偏好保证内部解；完全替代品通常产生角点，即将全部收入用于单位货币效用更高的商品。
常见错误包括：在角点仍使用 MRS = p_x/p_y（相切只适用于内部解）；认为 MRS 与价格比在所有位置都相等，而不是仅在最优点相等；以及忘记凸性是切点成为最大值而不是最小值的条件。